Да, здесь должно быть с прописной: Пушкинский Дом. Исправлено. Спасибо за замечание!
Корректно раздельное написание.
Запятая поставлена правильно.
Верная пунктуация: Тут и твой, и мой, и дедушкин — каждому ангел дан.
В подобных случаях название института следует писать в кавычках и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт серпа и молота», директор Учреждения РАН «Институт серпа и молота».
Тире между подлежащим и сказуемым, выраженными именительным падежом существительного, обычно не ставится, если перед сказуемым стоит отрицание не. Тире ставится, только если надо логически и интонационно подчеркнуть сказуемое.
Запятая между ученым званием и должностью не требуется: юбилей члена-корреспондента РАН, доктора исторических наук директора института Иванова.
Верно: в третьем классе.