Не видим разницы между двумя вариантами. Уточните, пожалуйста, вопрос.
Выражение во весь дух (бежать, мчаться) имеет значение ‘очень быстро, напрягая все силы’.
А через какую букву его следовало бы писать? И здесь передает ударный звук.
См. в Справочнике по фразеологии.
См. словарную статью:
Книжн. Обычно несов. Чаще 3 л. наст. вр. или прош. вр. Недосточно хорош, не удовлетворяет, не соответствует определенным требованиям. С сущ. неодуш.: проект, книга, настроение… оставляет желать лучшего.
Статья оставляет желать лучшего, ее необходимо доработать.
Иногда засядет и в месяц окончит картинку, о которой все кричат как о чуде, находя, впрочем, что техника оставляет желать лучшего… (В. Гаршин.)
Да и сам ассортимент, качество пищи в этом заведении оставляли желать лучшего. (Е. Попов.)
