Кавычки уместны. 

В данном случае слово вообще используется в значении «вообще говоря» и является вводным. Пунктуация верна.

Подробнее об обособлении слова вообще см. в «Справочнике по пунктуации».

Правилами разрешается не ставить запятую в подобных случаях. Сравним формулировку в параграфе 26 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина:

«При двукратном повторении союза и (если число однородных членов – два) запятая ставится при наличии обобщающего слова при однородных членах предложения: Всё напоминало об осени: и желтые листья, и туманы по утрам; то же без обобщающего слова, но при наличии зависимых слов при однородных членах: Теперь уж можно было расслышать в отдельности и шум дождя, и шум воды (Булг.). Однако при отсутствии указанных условий при однородных членах предложения, образующих тесное смысловое единство, запятая может не ставиться: Кругом было и светло и зелено (Т.); И днем и ночью кот ученый все ходит по цепи кругом (П.)».

Сочетание при необходимости вводным не является, выделять запятыми его не следует.

Корректно: 5–7-й классы; для 10–11-х классов; пяти-, шестиклассники.

Указанная запятая нужна.

Принято считать, что предлог до (такой-то даты) используют, если не включают дату во временной промежуток, а предлог по используют, если хотят подчеркнуть, что дата включается в указанный период. Но ни в одном словаре такое различие между предлогами до и по не проводится, ни один справочник это мнение не подтверждает. Таким образом, оба варианта – акция до 15 числа и акция по 15 число – точно не указывают, включается ли 15 число в данный период. Лучше оговорить это отдельно, например: с 1 до 15 декабря включительно или с 1 по 15 декабря включительно.

Кавычки не нужны.

Вероятно, ограничение до 35 лет относится только к молодым ученым. Вместе с тем из-за синтаксических особенностей предложения допустимо толкование, распространяющее последнее уточнение на всех перечисленных лиц.