Ставится соединительное тире: Форум «Азия — Европа».
Ударение падает на третий слог: пирогрАфия.
Работает грамматическое правило: два подлежащих с предметным значением предопределяют форму множественного числа сказуемого: договор и приложение подписаны.
Корректны сочетания дверь в комнату и дверь комнаты. Ср., например: Костя открыл дверь в комнату и, бросив быстрый взгляд на Динку, остановился у стола. В. Осеева, Динка. Она не слышала, как Евграф Живаго отворил дверь в комнату и в нее хлынула толпа из коридора... Б. Пастернак, Доктор Живаго. А через минуту в дверь комнаты господина из Сан-Франциско легонько стукнул француз-метрдотель... И. Бунин, Господин из Сан-Франциско. Михайлыч приоткрыл дверь комнаты, громко хлопнул и громко пошёл мимо Егора... В. Шукшин, Калина красная.
Вне контекста верно: эквивалент чего? (русский эквивалент английской пословицы).
Правильно: безынъекционная терапия. После русских приставок, кончающихся на согласный (кроме приставок сверх- и меж-), пишется ы и не пишется и.
Верно: Удариться головой о крышу.
Слова скоропостижный, скоропостижно обычно употребляют, когда речь идет о смерти: скоропостижная смерть, скоропостижно скончался. Сочетания с другими словами (например, скоропостижно жениться, скоропостижно вылечиться) возможны, но они будут иметь шутливый оттенок.
Первая часть сложных слов демо... пишется слитно: демоквартира.
Оснований для постановки тире нет. Это обычное сложноподчиненное предложение.
