Фа́росский — таким могло быть произношение прилагательного, образованного от названия средиземноморского острова Фа́рос. Тем не менее известный с античных времен Александрийский маяк историки именуют Фаро́сским. Прилагательное фаросский не отражено, к сожалению, в известных нам лингвистических словарях (в отличие от форо́сский). Можно учитывать произносительные тенденции в русском языке: обычно в прилагательных, образованных от топонимов (существительных мужского рода), ударение ставится на том же слоге, что и в производящем имени. В отдельных прилагательных ударение может ставиться на другом слоге: например, если топоним произносится с двояким ударением (ср. си́дне́йский) либо производное слово, как и топоним, состоит из нескольких слогов (ср. название древнего архангельского города Ка́ргополь и прилагательное каргопо́льский). Однако в обсуждаемом случае свою роль сыграла речевая традиция, имеющая отношение к терминологии специалистов по античной истории: прилагательное фаро́сский, так же как прилагательные дело́сский, лесбо́сский, мило́сский, родо́сский, восходящие к греческим топонимам, произносятся с ударением на втором слоге (под влиянием французского языка).

Различие между этими терминами можно увидеть, обратившись, например, к энциклопедии «Русский язык» (статьи «Фразеологизм», «Пословица», «Поговорка» написаны А. Н. Барановым и Д. О. Добровольским).

Фразеологизм — общее название для устойчивых словосочетаний или предложений, обладающих семантической или синтаксической нерегулярностью и имеющих смысл, не выводимый из смысла составляющих их слов. К фразеологизмам относят идиомы, коллокации, пословицы, поговорки; выделяется также разряд крылатых слов.

Пословица — фразеологизм со структурой предложения, имеющий в своем значении идею всеобщности, выражающий рекомендацию (совет, нравоучение или запрет) или объясняющий обсуждаемое положение дел.

Поговорка тоже имеет структуру предложения и часто осмысляется как в чём-то «ущербная» пословица.  Пословицы обладают большей речевой самостоятельностью и большей независимостью от ситуации и контекста, чем поговорки. Например, пословица Цыплят по осени считают уместна в любой ситуации, где говорящий считает себя вправе давать совет, ср. поговорку старость не радость, которая представляет собой реакцию на какие-то физические или умственные затруднения, связанные с возрастом одного из участников ситуации общения.

Не вполне корректно сформулирован вопрос. Не бывает «чего-то одушевленного» и «чего-то неодушевленного». Эта грамматическая категория принадлежит именам существительным, а не предметам или живым существам, которые ими обозначаются. Категория одушевленности имеет косвенную связь с понятиями живого/неживого, но это связь именно косвенная, не прямая, — уже хотя бы потому, что сложилась эта категория в глубокой древности, когда представления наших далеких предков о живом/неживом были в значительной степени отличными от представлений современного человека. В некоторых случаях одушевленность имени существительного вызывает у современного человека удивление (ср. классический пример: кукла). В некоторых случаях слова-синонимы противоположным образом относятся к одушевленности (снова классические примеры: покойник и труп). Примеры можно продолжать, тем более что в современном языке некоторые существительные колеблются по отношению к одушевленности/неодушевленности (ср. микроб).

Имя человека в любом случае представляет собой существительное одушевленное — независимо от того, именуют им реального человека, или выдуманного героя романа, или сам роман, или оперу. То, что оно служит названием оперы, не может превратить его в неодушевленное существительное.

Это не столько ошибка, сколько "канцеляризм" (явный признак официально-делового, канцелярского стиля).

Мы не выполняем домашние задания. 

1. Правила таковы. Слова королевство, республика, государство  и др. пишутся с большой буквы в официальных названиях современных государств, например: Королевство Испания, Соединенное Королевство; Федеративная Республика Германия, Литовская Республика; Государство Израиль, Государство Катар. В исторических названиях государств слова королевство, республика, государство, империя, держава и др. пишутся с маленькой буквы, а с большой буквы пишутся собственные названия, например: Французское королевство, Сицилийское королевство; Новгородская республика, Венецианская республика; Восточно-Франкское государство, государство Чжоу; Российская империя, Британская империя, империя Цинь; Великоморавская держава.

Таким образом, орфографически верным будет написание Франкское государство, Франкская империя, империя франков, государство франков (оба слова со строчной, т. к. нет имени собственного), империя Каролингов, империя Карла Великого, держава Карла Великого и т. п.

2. На этот вопрос мы попросили ответить одного из авторов словаря – В. В. Лопатина. Написание со строчной таких слов, как гитлерюгенд и ку-клукс-клан (хотя это, действительно, индивидуальные названия организаций, движений), обусловлено исключительно многолетней традицией. Традицией, в формировании которой немалую роль сыграла и определенная идеологическая подоплека: гитлерюгенд – нацистская, вражеская организация, ку-клукс-клан – организация, проповедующая враждебную нам расистскую идеологию. Иными словами, сложилась традиция написания этих слов со строчной как обозначающих чуждые понятия.

Правило звучит так: в составных названиях важнейших документов и сборников документов, государственных законов, а также архитектурных и других памятников, предметов и произведений искусства с прописной буквы пишется первое слово и собственные имена. Но при этом начальное родовое наименование в подобных названиях архитектурных и других памятников, произведений искусства пишется со строчной буквы. Ср.: дворец Белосельских-Белозерских (дворец — родовое слово), но Дворец конгрессов, Дворец наций (Дворец — первое слово названия). Сложность как раз в том, чтобы определить границы имени собственного, не всегда это можно сделать легко и последовательно.

В приведенных Вами примерах корректно: палаццо Колонна, дворец Александра III в Массандре (ср.: Массандровский дворец), Арсенальная комната Царскосельского дворца (может, использовать современное название — Екатерининского?), парадная анфилада Царскосельского дворца, Малый Трианон, центральный вестибюль замка Шамбор, вилла «Черный лебедь», вилла «Ротонда». 

Сложнее всего, кажется, с названием д/Дом ф/Фавна. Возможно написание дом Фавна (тем более в ряду перечисления других домов  в Помпеях), но в условиях контекста может быть уместно использовать прописную как раз в первом слове, чтобы избежать модели «дом, принадлежащий...» и подчеркнуть, что речь идет о памятнике архитектуры.

Правило звучит так: в названиях исторических эпох и событий, календарных периодов и праздников с прописной буквы пишется первое слово (которое может быть единственным). Слово исторических здесь ключевое: дело и в разной «историчности» события («войну токов» вряд ли можно назвать исторической эпохой, кавычки тут будут уместны), и в исторической дистанции (недавние события могут еще не осознаваться как исторические и не иметь статуса имени собственного). Например, Смута была давно, а перестройка была недавно; Смута уже точно осознается как название определенного периода в истории России, а годы перестройки в историографии будущего, возможно, станут частью какого-то другого, более обширного исторического периода. 

Часто на написание влияет идеология: например, еще совсем недавно требовалось писать первая мировая война, вторая мировая война, и только начиная с 1990-х эти названия исторических событий стали оформляться по общему правилу. Кроме того, на словарную фиксацию может влиять практика употребления, а она тоже может меняться, особенно если речь идет о событиях недавнего прошлого. Так что написание названий исторических событий, по-видимому, обречено на внутренние противоречия — в силу специфики самого материала.