Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская): Саджая, Саджаи, Саджае, Саджаю, Саджаей, о Саджае.
То есть - союз. Запятая, как правило, ставится перед ним (точнее, запятыми выделяются обороты, которые начинаются многими союзами, в том числе союзом то есть).
Обычно употребляется форма мн. числа: глубокие соболезнования.
Правильно: к врачу.
Оканье - произношение полного гласного на месте краткого (редуцированного) предударного или заударного гласного звука. Литературной московской норме такое произношение не соответствует.
Если Вы пишете название латиницей, кавычки не нужны. Если кириллицей, то нужны.
В медицинском значении (исследовать, изучать) - наблюдать кого, наблюдение кого.
Верно: мечтаю о еще одной собаке.
Обе запятые надо убрать, они не нужны.
Корректно: в режиме "вопрос - ответ".
