Существительное пограничье относится ко 2-му склонению. Оно стоит в форме предл. падежа ед. ч. В этой форме существительные 2-го склонения имеют окончание -е. Ср.: на столе, на копье. Поэтому корректно: на дальнем пограничье.
Однако отметим, что в художественной, особенно поэтической, речи (обычно при предлоге в) допускается написание форм предл. п. существительных сред. рода на -ье с окончанием -и, напр.: В молчаньи шел один ты с мыслию великой (П.); Подвиг есть и в сраженьи, / Подвиг есть и в борьбе. / Высший подвиг — в терпеньи, / В любви и мольбе (Хом.); И снег соперничал в усердьи/ С сумерничающею смертью (Б. Паст.). Под ударением окончание предл. п. -и отмечается только у одного слова на -ье: забытьё — в забытьи́. См. Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006.
Предпочтительно: Костючоку (без выпадения гласного). Склоняется только мужская фамилия.
Нет, в таком случае запятая не нужна.
Тире нужно. А правило звучит так: тире ставится в расчлененных (двучленных) заголовках, представляющих собой неполные безглагольные предложения, в которых имеются слова со значением субъекта действия, объекта, обстоятельства, отвечающие на вопросы «кто — чему?», «кто — куда?», «что — куда?», «что — как?», «что — где?» и т. п.
Правильно в дательном падеже: Илии (с ударным и). См.: Зализняк А. А. Грамматический словарь русского языка. 5-е изд., испр. М., 2008.
Можно было не исправлять, ошибки здесь нет, возможны оба варианта: не смогла оказать сопротивление и не смогла оказать сопротивления. В конструкциях «не + спрягаемая форма глагола + инфинитив + существительное» существительное, зависимое от инфинитива, может стоять как в форме винительного падежа, так и в форме родительного падежа. См.: Граудина Л. К., Ицкович В. А., Катлинская Л. П. Словарь грамматических вариантов русского языка. – 3-е изд., стер. М., 2008.
Географические названия, выраженные прилагательными, обычно согласуются с родовым словом, т. е. склоняются: в поселке Тазовском, под хутором Михайловским, в селе Снежном.
Новых правил нет, скорее можно говорить о неустоявшейся норме, которую отражают и противоречивые рекомендации в лингвистических источниках. «Словарь грамматических вариантов русского языка» Л. Граудиной, В. Ицковича, Л. Катлинской предлагает склонять русские, славянские и освоенные названия городов, рек, сел, деревень, поселков, хуторов, если эти названия не оканчиваются на гласные -о, -е, -и, -ы. В соответствии с этой рекомендацией сочетание жительница поселка Смидовича не ошибочно. В то же время в «Словаре географических названий» А. В. Суперанской говорится, что географические названия обычно не склоняются в сочетании с термином поселок (кроме тех случаев, когда название выражено прилагательным: в поселке Володарском).
Общая же тенденция такова: географические названия в сочетании с родовым словом постепенно перестают склоняться. У Пушкина было: «История села Горюхина», сейчас норма – не склонять такие названия в сочетании с географическим термином. В разговорной речи круг сочетаний с приложением, в которых топоним не склоняется, очень широк; на письме (в образцовой литературной речи) склонение, отвечающее строгой литературной норме, стараются сохранять.
Правильно в названии: Почетная грамота Президента Российской Федерации. В свободных сочетаниях правильно написание строчными: высокую оценку президента получили, президент отметил грамотой, по словам президента...
Со товарищи пишется раздельно в значении 'с товарищами, сообщниками', например: В нашей округе Стрешнев со товарищи как ни ночь людей бьет, мертвых грабит... Ю. Герман, Россия молодая. Мещанин Федор Паскевич со товарищи взял при Екатерине поставку соли из крымских озер... Ю. Тынянов, Смерть Вазир-Мухтара.
Слитно пишется (в разных падежных формах) слово сотоварищ 'товарищ по какому-л. занятию, делу и т. п.', например: Но все было спокойно, ветер гудел равномерно, как все это время, сотоварищи похрапывали, собаки сквозь сон ворчали и взвизгивали. В. Обручев, Плутония.
