Следует отличать слово нужно как слово категории состояния, то есть выступающее в качестве сказуемого в односоставном безличном предложении, от кратких форм прилагательного нужный (нужен, нужна, нужно, нужны). В первом случае слово нужно ведет себя так же, как слово надо. Эти слова сочетаются обычно с глаголами, но сочетаемость с существительными для них тоже возможна (Мне надо денег; Мне нужно денег). Во втором случае формы слова нужный, подобно другим кратким прилагательным, выступают как части именного сказуемого в двусоставном предложении и, естественно, чаще всего соседствуют с существительными-подлежащими: Мне нужна твоя одежда; Мне нужны твои ботинки; Мне нужен твой мотоцикл; Мне нужно твое согласие.

Судя по приведенным Вами ссылкам, "многие современные и старые словари" - это 22-е издание "Толкового словаря русского языка" С. И. Ожегова (и издание 1992 года)?

Но в этом словаре у "похудания" совсем иное значение - "появление худобы" (пример - болезненное похудание), а не "диета". Что оправданно.

Такова особенность склонения фамилий на ударный -ин и притяжательных прилагательных на ударный -ин.

Русское словесное ударение

Орфографический словарь

Окончание -ом пишется только в иностранных фамилиях на -ин: Дарвином, Чаплином, Гершвином. В русских (и образованных по образцу русских) фамилиях на -ин пишется окончание -ым: Пушкиным, Лениным, Райкиным. Поскольку псевдоним Намин воспринимается всё же как русская фамилия, верно: Наминым. 

Потому что это разные фамилии. Вот правило для фамилии Дарвин: иноязычные фамилии на   -ин и -ов имеют в творительном падеже окончание -ом (Дарвином, Гершвином, Чаплином). Тем самым они отличаются от русских фамилий на -ин и -ов. Ср.: Иван Петрович Дарвин – Иваном Петровичем Дарвиным.

В слове письмо корень пис-. Слово образовано от глагола писать с помощью уникального суффикса (унификса) -м-.

Унификс -м- зафиксирован в «Словаре уникальных морфем современного русского языка» Л. В. Рацибурской:

-M- письм(о) ― значение отвлеченного действия, а также предмета, являющегося объектом и результатом действия, названного мотивирующим глаголом (писать).

Согласно правилу в производных от слов на -мя всегда пишется -нн-, например: временной (от основы косвенных падежей времен-), временный, именной, теменной, пламенный, краснознамённый, беременный. В двух случаях прилагательные от слов на -мя образуются при помощи суффикса не -енн-, а -янн-, однако удвоенный согласный при этом сохраняется: безымянный и бессемянный (при наличии варианта бессеменной).

Форма дверьми не является разговорной: дверьми и дверями равноправны. Форма зверьми находится за пределами современной нормы, правильно только зверями. Формы лошадьми и лошадями соответствуют норме, некоторые нормативные руководства форму лошадьми называют предпочтительной. Равноправными нормативными вариантами являются формы дочерьми и дочерями. Только окончание -ми соответствует норме в формах детьми и людьми. Творительный падеж на -ми встречается во фразеологических оборотах лечь костьми и бить плетьми.

Работнику отдела кадров надо открыть паспорт Анастасии и посмотреть, как в нем зафиксирована фамилия в именительном падеже. Если в именительном падеже – Василишин, то фамилия не склоняется: Анастасии Василишин, с Анастасией Василишин.