Верно: палермский.
Орфографический словарь
Правильно: об откровении. О правилах склонения имен существительных см. в пособии Е. И. Литневской.
Правильно: в отделении.
Корректно: Орловско-Курская дуга.
Можно написать: поздравление для Р. Н. Григорьевой.
Корректно: истории изобретений.
Правильно: самодвижущаяся повозка.
Двойные, тройные и т. д. нерусские (европейские, американские) составные имена пишутся раздельно, поэтому правильно: Жак Луи Давид.
Для точного ответа требуется контекст. Скорее всего, кавычки нужны, так как словарное значение слов живой уголок — "специальное место (обычно в учреждении), где содержатся животные, птицы", а в Вашем случае эти слова используются в особом, условном значении. Кавычки точно нужны, если Вы хотите подчеркнуть ироническое значение этого сочетания.
