В школе это называют "беглыми гласными", они появились в древности в результате исчезновения сверхкратких гласных звуков. В русском языке множество слов, которые склоняются с выпадением гласной О или Е: сон - сна, день - дня, пень - пня, Египет - Египта и др.

Глагол бежать и соответствующие приставочные глаголы (побежать, забежать и т. д.) в школе называют разноспрягаемыми. Они образуют все формы, кроме формы 3 л. мн. ч., по II спр.: бегу, бежишь, бежит, бежим, бежите; а форму 3 л. мн. ч. – по I спр.: бегут.

Звук [э] может находиться только в ударной позиции; попадая в безударную, он редуцируется. В школе обычно этот безударный звук называют звуком [и], хотя правильнее говорить о некотором промежуточном звуке между [и] и [э]. Его называют «и с призвуком э» и обозначают так: [и^э].

Запятая нужна. Сочетание аты-баты, задающее ритм считалке, близко к междометию. Оно, как и междометие, не является членом предложения, не связано с другими словами в предложении, имеет самостоятельное интонационное оформление. Отсутствие запятой, полагаем, ошибкой является, однако не такой ошибкой, за которую следует снижать оценку в школе. 

В этом сложноподчиненном предложении перед придаточной частью стоит частица и со значением 'тоже, также'. Такие предложения упомянуты в параграфе 115 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.) среди случаев, в которых запятая не ставится.

В школьной методике преподавания русского языка такой вывод в принципе возможен. Но он слабо отражает реальное положение дел. Правильнее было бы обойти этот вопрос в школе, чтобы потом вернуться к нему в вузе (т. е. решить его, руководствуясь более обширными знаниями о морфемных исторических чередованиях).

Прилагательное на -ский, образованное от собственного имени, пишется со строчной буквы, кроме тех случаев, когда оно стоит в начале составного названия. Вопрос в том, приводите ли Вы в предложении официальное название библиотеки или даете описательный оборот. Ср.: учиться в московской школе и учиться в Московском государственном университете. 

Общеупотребительно: Пско́вская область. Вариант с ударением на а допустим в народной и поэтической речи. Ср. у Пушкина в строфе, исключенной из белового текста «Евгения Онегина»:

Но ты — губерния Псковска́я,
Теплица юных дней моих,
Что может быть, страна глухая,
Несносней барышень твоих?

В этом случае возможны оба варианта: 1) Они ждут не дождутся, когда же мы, наконец, поженимся! (вводное слово наконец выражает нетерпение); 2) Они ждут не дождутся, когда же мы наконец поженимся! (наречие наконец имеет значение «в результате, в итоге» и является обстоятельством).