Названия поселков не заключаются в кавычки.
Следует перестроить сочетание, например: зимняя Олимпиада в Сочи в 2014 году.
Если речь об истории (1929-1933 гг.), то прописная буква уместна.
Заключать в кавычки это устойчивое выражение не требуется.
В данном случае уместен либо курсив, либо кавычки.
Корректно написание со строчной буквы.
Возможны варианты: «Магазин «Москва», «Магазин "Москва"».
Фраза корректна. Между словами, обозначающими пространственные пределы, действительно ставится тире, кавычки при этом не нужны, см. примеры в параграфе 8.1 справочника Д. Э. Розенталя по пунктуации.
Кавычки не нужны.
Ситуация до конца непонятна, поэтому рекомендации дать трудно. Предлагаем следующее.
Если точность цитаты можно подтвердить, то ее нужно заключить в кавычки, при этом следует указать, кому приписывают авторство. Если нет уверенности, что чужие слова передаются точно, то лучше оформить их как косвенную речь или сопроводить оборотом типа как говорят. Выбор подачи чужих слов зависит от стиля, типа текста.
