Официально: Армия обороны Израиля. Неофициально: ЦАХАЛ.
Правильно: Марии. См. ответ № 188113 и пособие Е. И. Литневской (тип «армия»).
Правильно: Марии. Слова женского рода на -ия в дательном и предложном падеже ед. числа имеют в безударном положении окончание -и: станции, армии, России, Марии.
Да, например: Война Севера и Юга (в США, ист.), Вооружённые силы Юга России (белая армия).
Запятая обязательна: Здравствуйте, Мария Семеновна!
Правильно: советское правительство. Слово советский пишется со строчной буквы (но: Советская армия, Советская страна, Советский Союз, Советское информбюро).
Фамилия Цюра склоняется (и мужская, и женская). О том, как правильно произносить эту фамилию и куда ставить ударение, следует спросить у ее носителя.
Да, слово существует, например: Нет же, навсегда он будет для них ― незадавшийся полководец, несправившийся командарм (Г. Н. Владимов. Генерал и его армия).
В подписи уместен женский род: заведующая сектором Мария Ивановна Сидорова. Мужской род – в строгой деловой речи, в официальных документах.
