Форма творительного падежа - с Женей Августином или Августиным (нужно уточнить у обладателя фамилии). Остальные формы не должны вызвать затруднений.
Запятая поставлена правильно.
"Словарь имен собственных" Ф. Л. Агеенко предлагает склонять имя, так что верно: улица Белы Куна.
Художественный образ создается автором. Луна может оказаться и на дилижансе, и в дилижансе.
Можно поставить запятую или тире.
С большой буквы Солнце пишется только как астрономический термин, в значении 'центр Солнечной системы': вращение Земли вокруг Солнца. При употреблении в нетерминологическом значении (восход солнца, смотреть на солнце), в переносных значениях (ты мое солнце), а также в значении 'центр других планетарных систем' солнце пишется с маленькой буквы.
Аналогично Луна пишется с большой буквы только как астрономический термин: изучение Луны, полеты на Луну. В нетерминологическом значении (восход луны, серп луны) и в значении 'спутник любой планеты' (две луны Марса) правильно написание с маленькой буквы.
Если речь идет о микрорайоне города, то правильно: аренда недвижимости в Поселке Котовского.
Здесь не хватает слова темп: снижаются темпы роста... Также возможен вариант: замедляется рост...
Оба варианта зафиксированы в словарях.
Правильно: премия «Ясная Поляна».
