Правильно: будет проводиться проверка.
Корректно: Юношеские Олимпийские игры.
Да, дефис после неизменяемого приложения нужен.
Верно так:
Орфографический словарь
параолимпиец, -ийца, тв. -ийцем, р. мн. -ийцев
Параолимпийские игры
Верно: всемирно известная игра.
На первый взгляд, сочетание двое Олимпийских игр соответствует правилу, т. к. название Олимпийские игры в единственном числе не употребляется. Однако у слова игры единственное число существует, поэтому аналогия с сочетанием двое суток не вполне корректна и правильность выражения двое Олимпийских игр вызывает сомнения. Предпочтительно перестроить фразу.
Правильно: в скольких метрах.
Здесь возможны варианты в зависимости от того, какой смысл хочет выразить автор. По существу может значить 'в сущности говоря' — в этом случае автор комментирует сочетание ничем не занимаясь, подчеркивая, что оно подходит для характеристики проведения времени в Париже; в таком употреблении это вводное сочетание. Но возможен и другой смысл: ничем по существу (не занимаясь) может значить 'ничем существенным (не занимаясь)'; в этом случае сочетание не вводное.
Запятая перед и не нужна.
