Верно: всемирно известная игра.
Если сочетание театр психологических игр – официальное название, то его первое слово нужно написать с заглавной буквы.
Предпочтительным (с учетом смысловых особенностей высказывания) представляется такой вариант: Одной из первых посетительниц нового адаптивного пляжа стала российская спортсменка, призер летних Паралимпийских игр – 2020. Если по каким-либо причинам (например, стилистическим) важно сохранить типовую грамматическую формулу, то следует принять во внимание мужской род существительного посетитель: Одним из первых посетителей...
Если в словаре это разные словарные статьи, то можно.
Верно: Это не пирамида и даже не игра.
Если это официальное название мероприятия, первое слово в названии пишется с большой буквы: Большие петровские игры.
Указанная запятая не нужна.
Это связано со сложившейся практикой письма.
Название игры пишется так: «Что? Где? Когда?»