От имени Афанасий образуются оба прилагательных - и афанасиевский, и афанасьевский. Точно так же с отчествами: Афанасьевич и Афанасиевич.
Мягкий знак обозначает мягкость предыдущего согласного, т. е. фамилии Баль, Хиль, Филь и т.п. оканчиваются на согласный звук. А значит, они подчиняются общему правилу: мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются, женские – нет.
Мужские фамилии Баль, Хиль склоняются следующим образом: Баля, Хиля; Балю, Хилю; Баля, Хиля; Балем, Хилем; о Бале, о Хиле.
В форме третьего лица глагола мягкий знак не пишется, правильно: приходится.
Мягкий знак не нужен: Танюш.
Мягкий знак не пишется. Правильно: Саш, Маш.
Мягкий знак не пишется: Привет, Катюш
Мягкий знак нужен. Правильно: о кошачьем любопытстве.
Для этого слова нет общепринятого графического сокращения. В любом случае мягкий знак в сокращении избыточен.
В словах Дарьюшка и Софьюшка мягкий знак выполняет разделительную функцию, то есть обеспечивает произношение на месте буквы Ю двух звуков речи - Й и У. В слове Илюша на месте буквы Ю произносится только один звук.
Да, мягкий знак нужен. Написание знакомтесь ошибочно.