Занятый – причастие, обозначает временный признак: занятый кубиками малыш. Занятой – прилагательное в значении 'не имеющий свободного времени, обременённый делами, работой', обозначает постоянный признак: вечно занятой отец.

Сочетания тренировка по боксу, тренировка по плаванию допустимы: сочетание тренировка по плаванию зафиксировано, например, в «Словаре русского языка» под ред. А. П. Евгеньевой (известном как «Малый академический словарь»).

Союз и никак не влияет на постановку запятых: выделяется запятыми с обеих сторон приложение, относящееся к имени собственному, если оно стоит после определяемого существительного. Ср. пример из справочника Д. Э. Розенталя «Пунктуация»: Чемодан внесли кучер Селифан, низенький человек в тулупчике, и лакей Петрушка, малый лет тридцати в подержанном сюртуке.

В данном случае написание слова нужно запомнить или проверить по словарю.

Правило звучит так: в составных названиях важнейших документов и сборников документов, государственных законов, а также архитектурных и других памятников, предметов и произведений искусства с прописной буквы пишется первое слово и собственные имена. Но при этом начальное родовое наименование в подобных названиях архитектурных и других памятников, произведений искусства пишется со строчной буквы. Ср.: дворец Белосельских-Белозерских (дворец — родовое слово), но Дворец конгрессов, Дворец наций (Дворец — первое слово названия). Сложность как раз в том, чтобы определить границы имени собственного, не всегда это можно сделать легко и последовательно.

В приведенных Вами примерах корректно: палаццо Колонна, дворец Александра III в Массандре (ср.: Массандровский дворец), Арсенальная комната Царскосельского дворца (может, использовать современное название — Екатерининского?), парадная анфилада Царскосельского дворца, Малый Трианон, центральный вестибюль замка Шамбор, вилла «Черный лебедь», вилла «Ротонда». 

Сложнее всего, кажется, с названием д/Дом ф/Фавна. Возможно написание дом Фавна (тем более в ряду перечисления других домов  в Помпеях), но в условиях контекста может быть уместно использовать прописную как раз в первом слове, чтобы избежать модели «дом, принадлежащий...» и подчеркнуть, что речь идет о памятнике архитектуры.

Малый академический словарь определяет, что блистать — «то же, что блестеть… но с оттенком большей силы, большей интенсивности действия». В «Большом толковом словаре русского языка» под ред. С. А. Кузнецова сказано, что блистать — это «ярко светить; сверкать (обычно переливаясь; вспыхивая и угасая)». Полагаем, что употребление глагола блистать в отношении лысины придает высказыванию иронический оттенок.

Принято писать без тире и кавычек: далее по тексту Соглашение или далее Соглашение.