В этих примерах дома, домой – наречия, а не существительные.
Корректно: областная дума. В официальных названиях первое слово пишется с прописной буквы: Саратовская областная дума.
Правильно: Центральный дом работников искусств. В названиях организаций с большой буквы пишется первое слово (и входящие в состав названия имена собственные, если они есть).
Верен первый вариант.
Если имеется в виду дом, в котором жил Пушкин, то правильно с маленькой: дом Пушкина.
Верно: Габсбургский дом.
См. также ответ на вопрос № 266303.
Стилистически более точен второй вариант. Первый может быть истолкован так, что кто-то приглашает кого-то на праздничный вечер, находясь в I студии Дома радио. Второй вариант такого толкования не предполагает.
В обоих случаях ставится запятая.
