Устаревшие слова делятся на 2 группы: историзмы и архаизмы.

Историзмы – это слова, обозначающие исчезнувшие из современной жизни предметы, явления, ставшие неактуальными понятия, например: кольчуга, барщина, конка; соцсоревнование, Политбюро. Эти слова вышли из употребления вместе с обозначаемыми ими предметами, понятиями и перешли в пассивную лексику: мы их знаем, но не употребляем в своей повседневной речи. Историзмы относятся к устаревшим словам, хотя здесь устаревают не сами слова, устаревают понятия и явления.

Архаизмы – это устаревшие названия существующих и в современности явлений и понятий, для обозначения которых возникли другие, современные названия, например: ланиты – 'щеки', десница – 'правая рука', пагуба – 'погибель'; живот – 'жизнь', ресторация – 'ресторан'. В словарях пометой «устар.» сопровождаются в основном архаизмы.

Из приведенных Вами примеров, пожалуй, только слово промокашка можно считать историзмом, а следовательно, устаревшим словом. Чернильницу и пилотку вряд ли можно считать таковыми: пилотки продолжают существовать, чернильницей и сейчас пользуются, она применяется в каллиграфии (строго говоря, и промокательная бумага продолжает существовать, но вот промокашка как листочек, который вкладывали в тетрадки и которым пользовались в школе, точно ушел в небытие).

Точка после кавычек здесь ставится.

В «Большом орфоэпическом словаре русского языка» М. Л. Каленчук, Л. Л. Касаткина, Р. Ф. Касаткиной (М., 2012) варианты произношения ты[с'иеч']а и ты[ш'ш']а даны как равноправные. Словарями прежних лет произношение тыща допускалось только в разговорной речи.

Запятая не нужна. Если два однородных члена предложения с союзом и образуют тесно связанную по смыслу пару, соединенную союзом и с третьим однородным членом, запятая не ставится: Врач выписал и оставил листок нетрудоспособности и порекомендовал записаться на прием в поликлинику (парная группа выписал и оставил с общим второстепенным членом листок нетрудоспособности).

В зависимости от смысла возможны два варианта: избавиться от кусочка бумаги, неожиданно обжегшего ладонь и избавиться от кусочка бумаги, неожиданно обжигавшего ладонь.

Стилистически лучше согласование по женскому роду, если речь идет о женщине.

Это безличное предложение. Подробно см. в учебнике Е. И. Литневской.