Правильно: в течение всего игрового процесса в знач. 'во время всего игрового процесса'. Предлог в течение (чего-либо) 'во время, в продолжение чего-либо' пишется с е на конце.

Для официального текста предлагаем такой вариант: мероприятия, проведенные в Государственной Думе в течение весенней сессии.

Слово сутки не сочетается с числительными два, три, четыре и составными числительными, заканчивающимися на два, три, четыре. Чтобы избежать грамматической ошибки, слово сутки заменяют на слово день или используют конструкцию в течение 53 суток.

См. в "Справочнике по пунктуации".

Спасибо за интересный вопрос! Слова восхитительный и хит не являются однокоренными, хотя некоторую ассоциативную связь между ними действительно можно найти.

Прилагательное восхитительный образовалось от глагола восхитить: восхитительный – это тот, который восхищает. Глагол восхитить заимствован из старославянского языка и восходит к слову хытити 'хватать, похищать' (ср. с современными родственными словами похитить, хитрый). 

Существительное хит заимствовано русским языком в конце ХХ в. из английского, где hit – это удар, попадание, удачная попытка, гвоздь сезона. В русском языке хитом называют музыкальное произведение (обычно эстрадное), имеющее наибольшую популярность в течение какого-нибудь промежутка времени. Существительное хит потеснило в употреблении более раннее немецкое заимствование шлягер.

Интересно, что слово хит в современных словарях перестало характеризоваться как свойственное только разговорной речи, а ведь еще в «Толковом словаре иноязычных слов» Л. П. Крысина 2008 г. оно сопровождалось пометой разг. 

На то, что в течение — это предлог, указывает его значение "на протяжении какого-либо отрезка времени" и роль в предложении: здесь в течение можно свободно заменить на предлог в продолжение.

Верно: нет возможности посещать тренировки в течение недели.

Да, кавычки лучше поставить.

В именительном падеже сочетание невозможно. Правильно: в течение 23 суток.  

Фраза неудачна. Возможный вариант: количество дней, в течение которых Клиент может пополнить вклад.

Это некорректное сочетание. В ходе – в течение, в процессе протекания чего-либо (о чем-либо длительном), например: в ходе переговоров, в ходе строительства.