Слово мцыри выступает здесь как имя литературного персонажа, и его надо написать с прописной буквы: Мцыри. В стихотворных цитатах, включенных в состав прозаического текста в качестве его компонентов, строки отделяются одинарной или двойной косой чертой, прописные буквы в начале строк сохраняются.

В качестве мнемонического приема - так объяснить можно. Но основное правило должно оставаться неизменным: проверочными являются лишь однокоренные слова (то есть имеющие общий корень с точки зрения современного языка, а не только с точки зрения истории слова). Поэтому слово медведь остается словарным.

1. В первом случае тире выглядит избыточным, потому что союз чем... тем вполне ясно выражает отношения сопоставления (соответствия). Во втором случае тире необходимо потому, что союза в предложении нет. 2. Предложения, вводимые в текст в качестве примеров, принято начинать с прописной буквы. 

Пунктуация будет зависеть от смысла. Запятые нужны, если автор хочет придать обороту с союзом как значение причины: Я, как руководитель проекта, обязан = Я обязан, потому что я являюсь руководителем проекта. Ср.: Я как руководитель проекта обязан = Я в качестве руководителя проекта обязан.

У В. Пикуля: «То романеи тебе шлют, то горшочек мазули с шафраном...». Романея – так в допетровской Руси называли привозившееся из-за границы виноградное вино высокого качества, романея также – старинное название сладкой настойки на заграничном вине. Мазуля – то же, что размазня, т. е. жидкая каша.

Заглавная и прописная буква – это одно и то же (большая буква). Маленькая буква называется строчная.

В качестве первых частей сложных слов такие компоненты пишутся строчными: оже-электрон, лоренц-фактор, лоренц-инвариантность, фурье-спектрометрия. Но: эффект Оже, преобразования Лоренца, сила Лоренца, преобразование Фурье, ряд Фурье и т. п.

Дело в том, что слова потому, поэтому, притом чаще употребляются в качестве союзов. Слова при этом, в отличие от названных выше слов, более часто используются в роли местоимения с предлогом. Но справедливее считать все эти написания словарными, то есть проверяющимися лишь по словарю.

Запятая на месте цифры 4 не ставится. Вот правило: деепричастный оборот не обособляется, если деепричастие имеет в качестве зависимого слова союзное слово который в составе определительной придаточной части сложноподчиненного предложения (такое деепричастие от придаточной части запятой не отделяется; запятая ставится только перед деепричастием).

Если слова как формы выполняемых производственных услуг с элементами оптимизации имеют оттенок причинности, эти слова выделяются с двух сторон запятыми. Если же такого оттенка нет и как можно заменить на в качестве, запятые не требуются. См. «Правила», параграф 152, пункт 2.