Вы правы, запятые здесь не нужны.
Очевидно, графическое сокращение г. о. в этом предложении читается как городского округа и играет роль несогласованного определения: ГБОУ СОШ №6 (чего?) г. о. Отрадный.
Поставленная запятая нужна по правилам пунктуации в сложноподчиненном предложении. Поскольку в данном случае придаточная изъяснительная часть предшествует главной, вместо запятой можно поставить тире: И куда она отправится — тебе выяснять не нужно.
Сочетание на сегодняшний день является обстоятельством времени и не требует обособления.
Постановка кавычек не требуется.
Верно через дефис: зайчонок-листопадник.
Грамматически слово малина имеет форму множественного числа. Однако она практически не употребляется.
Есть некоторая плеонастичность (избыточность).
Правильно: лазят и лазают.
Запятая ставится между частями сложного предложения. Но если требуется подчеркнуть, что эта конструкция цельная по смыслу, интонационно неразложимая, то запятая может отсутствовать.
