Правильно: верить во что-то.

Это, очевидно, калька с английского, где слово inspired переводится не только как "вдохновленный", но и "навеянный". В русском языке такое употребление не вполне корректно.

Действительно, такой оборот вносит интонацию непринужденной разговорной речи. Поэтому он не везде уместен: чтобы принять решение, нужно оценить стиль всего текста.

Возможно как слитное, так и раздельное написание в зависимости от контекста.

Сочетние открыть веки корректно и встречается в художественной литературе: у Бориса Житкова, Александра Солженицына, Александра Проханова, Михаила Шишкина и некоторых других писателей. Так что ошибки нет.

Да, предложение написано верно.

Следует писать с большой: Он чувствовал, что нужно что-нибудь сказать. Вроде «Забудь всё, что здесь происходило», «Никому не рассказывай» или «Спасибо за всё, что ты для меня делаешь». 

Корректно: Ни кто они, ни откуда явились, было неизвестно.

Мы не можем ответить на вопрос, поскольку не знаем ни сути просьбы, ни правил, принятых в организации. Можно только сказать, что официальные письма должны содержать всю необходимую информацию, быть максимально ясными и исключать недопонимание.

Сочетания -оло-, -оро-, -ере- в словах типа молоко, голова, сторона, берег появились благадаря историческим процессам в языке. В VIII—IX веках в языке восточных славян развилось полногласие: оно стало отличительной чертой русского, белорусского и украинского языков.

В этот период праславянские сочетания гласных перед плавными r и l в позиции между согласными трансформировались таким образом, что изначальное mełko превратилось в mołko, а потом в молоко.

В западно- и южнославянских языках эти сочетания изменились иначе: там развилось неполногласие. Так, по-болгарски молоко — мляко, по-польски — mleko.

Различия в написании в русском и белорусском языках объясняются дальнейшим расхождением в развитии двух языков.