Первая форма неправильна, вторая правильна. Притяжательные прилагательные, заканчивающиеся в форме им. падежа ед. числа на -ий, в остальных формах имеют основу на ь, окончания можно проверить по окончаниям местоимения чей. Посмотреть таблицы склонения для притяжательных прилагательных можно в учебнике Е. И. Литневской. 

Имена прилагательные, образованные от личных имен, фамилий, кличек при помощи суффиксов -ов (-ев) или -ин и обозначающие индивидуальную принадлежность, пишутся с прописной буквы: Катин, Муркины.

Имена прилагательные, образованные от личных имен и фамилий при помощи суффиксов -ск-, -овск- (-евск-), -инск-, пишутся со строчной буквы: байроновские.

Так Вам и нужно принять решение: склонять фамилию как русскую на -ин (с Берлиным) или склонять как мужскую иноязычную (с Берлином). Ср.: с Чаплиным (Всеволодом) и с Чаплином (Чарли).

Если женская фамилия Берлин (не Берлина), то соответствующую мужскую корректно склонять как иноязычную (с Берлином).

Фамилию Надточий можно воспринять и как имеющую окончание -ий и, следовательно, склоняющуюся как прилагательное (Надточего, Надточему... и в женском роде Надточая, Надточей), и как имеющую нулевое окончание со склонением по образцу существительных (Надточия, Надточию... и в женском роде неизменяемая форма Надточий). Здесь окончательное решение за носителем фамилии.

Имена прилагательные, образованные от личных имен, фамилий, кличек при помощи суффиксов -ов (-ев) или -ин и обозначающие индивидуальную принадлежность, пишутся с прописной буквы: Володина изба. Однако прилагательные, образованные от личных имен и фамилий при помощи суффиксов -ск-, -овск- (-евск-), -инск-, пишутся со строчной буквы: сергеевская рубашка.

В прилагательном туманный вторая буква н представляет собой суффикс (часть -ый является окончанием). Прилагательное фазаний образовано с помощью суффикса -ий (в именительном падеже у него нулевое окончание, в других падежах суффикс представлен вариантом j, сравним: фазан-j-его, фазан-j-ему и т. д.), второй букве н в нем неоткуда взяться.

В работах Л. П. Калакуцкой, посвященных склонению имен и отчеств, сформулировано такое правило: польские, чешские и словацкие фамилии на -ский, -цкий и -ий, ый, как мужские, так и женские, принято давать с полными окончаниями в именительном падеже и склонять, как соответствующие русские фамилии: Ковалевский – Ковалевского – Ковалевскому и т. д.

Нестандартные русские и нерусские фамилии (т. е. фамилии, оформленные иным путем, нежели суффиксами -ов/-ев, -ин) обычно ставятся в форме единственного числа, если сопровождаются словами братья, сестры, супруги, семья, династия и т. п., ср.: братья Петровы, но братья Гримм, семья Ивановых, но семья Жук. Аналогично: династия Романовых, но династия Попелюк.

И в винительном падеже, и в предложном пишется е: уехать в Заполярье, живу в Заполярье. Правило простое: слова среднего рода на -ье имеют в предложном падеже окончание -е: в ущелье, о варенье. В отличие от них слова среднего рода на -ие имеют в предложном падеже окончание -и: в сопровождении, в молчании, в подразделении.

П р а в и л о. В словах, образованных от слов с основой на -ик(), -иц() (с чередованием к/ч, ц/ч) и суффиксом -к-, без ударения пишется ичк (рубрика – рубричка, фабрика – фабричка, пуговица – пуговичка, лестница – лестничка, Эдик – Эдичка). В суффиксе -ич-к-, -ичк- со значением «жительница» (вятичка, вязьмичка). В остальных случаях пишется ечк (здоровьечко, ситечко, линеечка).

П р и м е ч а н и е 1. Вопрос о том, произведено ли данное слово от слова с основой на -ик- с суффиксом -к- или от слова с другой основой с суффиксом -ечк-, не всегда решается однозначно. Для слов данного типа спорных случаев немного. Так, могут возникнуть сомнения при определении производящего для слов Эдичка (от Эдуард, Эдя или от Эдик), Толичка (от Толя или от Толик), луковичка (от луковица или от луковка), кресличко (от креслице или от кресло).

П р и м е ч а н и е 2. Под данную формулировку правила подпадают и наречия, напр.: сколечко, нисколечко, столечко, маленечко, хорошенечко, легонечко, тихонечко, немножечко.

П р и м е р ы.

¹От слова теоретически возможно образование уменьшительного существительного: республичка, клиничка и т.п.

² В этих словах исторически выделяется суфф. -(е)к-, напр.: копеечка – исторически выделяемый корень коп- и суфф. -(е)к, ложечка – исторически выделяемый корень лож- и суфф. -(е)к. Если такое членение признавать и в современном языке, то эти слова должны быть перенесены в другую группу примеров.

Формулы:

слова на ечк()/ичк(): ечк в слове с основой не на ик, иц (беечка, времечко, столечко)

слова на ечк()/ичк(): ичк в слове с основой на ик (слово) (фабричка)

слова на ечк()/ичк(): ичк в слове с основой на иц (слово) (пуговичка, ножнички, уличка)