Прилагательные серый и туманный вполне могут быть однородными, поскольку они оба характеризуют состояние атмосферы: серый, туманный день; серый и туманный день. Прилагательные загадочный и теплый вряд ли могут быть объединены каким-либо общим признаком. 

Сочетание по большому счету в значении 'в общем и целом' обычно не обособляется, хотя иногда оно может употребляться как вводное в значении 'собственно говоря' (в этом случае обособление требуется).

Верно: в восхищении, в восхищенье.

Правила таковы:

Слова среднего рода на -ие имеют в предложном падеже, в отступление от общего правила, окончание -и, а не -е: в сопровождении, в молчании, в подразделении. Слова среднего рода на -ье имеют в предложном падеже окончание -е: в ущелье, о варенье.

У большого количества слов есть вариантные формы на -ие и на -ье, например: проклятие - проклятье, спасение - спасенье, возвращение - возвращенье, признание - признанье, молчание - молчанье и т. п. При этом формы на -ие часто являются общеупотребительными и стилистически нейтральными, а формы на -ье характерны для разговорной и поэтической речи (хотя может быть наоборот, ср. счастье - общеупотребительный вариант, счастие - устаревший, встречающийся в поэтических текстах). При наличии таких вариантов на -ие и -ье указанные падежные формы имеют разные окончания -и и -е, например: об умении - об уменье, в молчании - в молчанье.

Однако в художественной, особенно поэтической, речи допускается написание форм предложного падежа существительных среднего рода на -ье (обычно при предлоге в) с окончанием -и, например: В молчаньи шел один ты с мыслию великой (Пушкин). Ошибкой здесь это не является.

См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006 (и более поздние издания).

Вы написали верно, оба слова с двумя Н.

Корректно: сертификат участника или сертификат, подтверждающий участие.

Это равноправные варианты.

Правильно: билингвов.

Варианты искренно и искренне абсолютно равноправны, «более правильного» и «менее правильного» среди них нет. В устойчивом выражении искренне Ваш употребляется только вариант искренне.

Верны оба варианта переноса слова.