Слово галактика пишется со строчной буквы, если употребляется в общем смысле, и с прописной буквы, если идет речь о названии конкретной звездной системы, к которой принадлежит Солнце: Есть ли у нашей Галактики название? Что же такое галактика?

Верно: ...поднимается проблема: какую роль играют сказки в жизни детей? Нет никаких оснований начинать вторую часть бессоюзного сложного предложения с прописной буквы.

Да, орфографически верно именно такое написание: площадь Святого Благоверного Князя Михаила Тверского, оно соответствует основному правилу написания географических и административно-территориальных названий. В состав названия могут входить слова, обозначающие титул, звание, профессию, должность и т. д., исключений для них не делается.

Знаки препинания в этом предложении не требуются.

Лучше: перед приемом пищи или просто: перед едой. Употребление слова кушать допустимо далеко не во всех контекстах, см. об этом слове в «Словаре трудностей».

Мы рекомендуем склонять это название: на берегу реки Тускари. Судя по материалам в Сети (включая "Национальный корпус русского языка"), название не редкое, оно встречалось даже в текстах Лескова и Фета (и, например, Фет его склонял).

В тексте договора (в приведенном примере) возможно написание дополнительное с прописной (большой) буквы. Слова договор, дополнение пишут с прописной в качестве сокращенного наименования, указывая в начале документа  после полного наименования в скобках: (далее Договор).

Корректно с прописной (большой): Конкурс им. Чайковского.

Написание слова одиссея со строчной буквы в значении 'странствие с приключениями' закреплено орфографическими словарями однозначно, то же в толковых словарях (см., например, ресурс «Проверка слова»). Правилами орфографии написание названий произведений, ставших нарицательными, не регламентируется. Чтобы сформулировать правило (если в нем возникает потребность), необходимо изучать материал.