То есть как отличить? Например, небо было пасмурно (род прилагательного соответствует роду определяемого слова) и на улице было пасмурно (определяемого слова нет и быть не может).

Общее правило таково: служебные слова, входящие в состав западноевропейских фамилий, пишутся со строчной буквы (ван, де, делла и т. п.). Однако есть исключения: Ван Гог, Ван Дамм.

Явные ошибки, опечатки в цитате-эпиграфе можно и нужно исправить, так чтобы современный читатель мог понять его смысл. Единственное условие: нельзя, чтобы исправления привели к смысловой неточности цитирования.

Словарной рекомендации нет, но, как правило, если обе части составного существительного склоняются, то род всего сложносоставного существительного определяется по роду первого слова: согласно прежнему плану-заданию, новый план-задание. 

Рекомендуем не склонять это название, поскольку оно не вполне освоено русским языком: подъехать к Сари-Пуль. Если речь идет о выборе формы определения, следует ориентироваться на род родового слова.

Правильно: притоки р. Иртыш. Приложения – географические названия обычно не склоняются, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают (река – женского рода, Иртыш – мужского). Ср.: притоки р. Волги.

Географические названия в сочетании с родовым словом обычно не склоняются, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают (как в приведенном примере). Поэтому верно: в селе Николаевка.

Правильно: уравнение с одним неизвестным. Слово неизвестное  в значении 'искомая величина' – существительное среднего рода (при употреблении в переносном значении, не связанном с математикой, род слова неизвестное не меняется).

Использование мужского рода характерно для строгого стиля письменной речи, деловых документов, публицистики, научной прозе. В функции приложения, в составе именного сказуемого используется также мужской род: она была летчиком-испытателем.