В значении 'прожить, пробыть где-либо или каким-либо образом' правильно: провести что: как я провел это лето. Это очевидно для любого грамотного носителя русского языка – разумеется, и для создателей фильма «Как я провел этим летом» тоже. Отсюда следует, что в названии фильма (которое, на первый взгляд, содержит явную грамматическую ошибку) «неправильное» управление не случайно – это своего рода загадка, разгадать которую предложено нам, зрителям (по-видимому, после просмотра фильма станет ясно, почему он так называется).
Сочетание страны мира корректно, никакой избыточности в нем нет. Ср.: страны Европы, страны Азии, страны Ближнего Востока...
Название университета склоняется: в Карловом университете.
Запятая не нужна.
Женские имена на -ия имеют в дательном падеже окончание -и. Правильно: выдан Юлии, Наталии, Виктории, Марии, Лидии и т. п. Буква Е в дательном падеже пишется, только если ударение падает на последний слог (как правило, в именах восточного происхождения): Альфия – Альфие, Алия – Алие, Зульфия – Зульфие и т. п.
Пожалуй, такое выражение не слишком удачно, однако сочетание земной шар используется здесь в значении "планета Земля", а слово конец — в значении "место на какой-л. территории, в каком-л. государстве, расположенное далеко от данного места (Такие письма разослали во все концы страны)".
