Оба слова (весь день) являются обстоятельством времени.
Возможен такой вариант: Вопрос – ходить или не ходить – не стоит. Д. Э. Розенталь формулировал правило так: если несогласованное определение, выраженное инфинитивом, находится в середине предложения, то оно обособляется при помощи тире. Ср. с примером Д. Э. Розенталя: …Каждый из них решал этот вопрос — уехать или остаться — для себя, для своих близких (Кетл.).
У Пушкина слово верно использовано в значении "точно, наверняка" и не является вводным.
Прилагательное не страшны пишется здесь раздельно, поскольку в предложении есть местоименное слово на ни-, а такие слова усиливают отрицание (см. пункт 2а параграфа 147 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).
С существительными, прилагательными, наречиями на −о отрицание не пишется раздельно в составе конструкций, усиливающих отрицание:
а) со словами вовсе не, отнюдь не, далеко не, ничуть не, нимало не, напр.: Этот случай вовсе не уникален; Это отнюдь не очевидно; Она далеко не храбрая; Человек он ничуть не глупый; Нимало не смущён;
б) с отрицательными местоименными словами: нисколько не, никак не, никого не, никому не, никем не, никогда не, никуда не, никакой не, ничего не, ничему не, ничем не и т. п., напр.: Случай никак не подходящий; Никуда не годный проект; Никакой он мне не приятель; нисколько не завистливый, никому не нужный, ни в коем случае не бесполезный, ни на что не годный, ни к чему не способен, ничем не интересный; Он нисколько не красивее своей сестры;
в) с союзом ни… ни, напр.: Ни хозяевам, ни гостям не известный мужчина; Не нужный ни мне ни тебе.
