Под городом Ростовом-на-Дону, под Саратовом, под Гдовом, под городом Серпуховом. Примеры убеждают, что выбор нужно сделать в пользу варианта под городом Дымовом. Подробно о склонении географических названий рассказано в «Письмовнике».
Это сочетание не заключается в кавычки.
Правильно: смотреть под ноги.
Устойчиво: задача со звездочкой.
СИЛКИ́. ◊ Взять, схватить и т. д. под силки (устар. и прост.) — взять, схватить и т. д. под мышки. Саша успел вскочить и отправиться. — Ты меня схватил под силки, — сказал он, — а то бы никогда меня не повалил (А. С. Пушкин).
Возможны варианты оформления названия: корпус «Под гербом»; Корпус под гербом.
Корректны сочетания из двух глаголов в одинаковой форме, запятая в таких сочетаниях не ставится: поди угадай или попробуй угадай.
Верно: под Бородином.
