Трудно судить о правильности по отдельным фрагментам. Нужно видеть более обширный контекст.
Да, Вы правы. В названии праздника слово новый пишется с прописной буквы: Поздравляем с Новым годом! В значении 'следующий год, наступающий год' новый год пишется со строчной: Желаем Вам успехов в новом году.
Верно: восточный Новый год, лунный Новый год, китайский Новый год.
Это ошибка. См. также http://new.gramota.ru//spravka/letters/61-rubric-92
Оба варианта возможны. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Если ориентироваться на примеры, приведенные в параграфе 12.7 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя (В результате сила электромагнитного поля проходящих сигналов, а значит, и сила приёма увеличиваются во много раз; Странный, если хотите — вызывающий тон неприятно подействовал на окружающих), можно рекомендовать поставить в указанном месте либо запятую, либо тире.
См. ответ на вопрос № 257956.
Правильное написание названия праздника: Новый год.
