Запятую ставить не надо.
Оба варианта корректны.
Правильно: в первый день по прибытии.
Правильно: исчерпать.
Это слово по-разному фиксировали словари и справочники в разные годы. Актуальная орфографическая норма – естественно-научный. См. также ресурс «Орфографическое комментирование русского словаря».
Оба варианта правильны. Они имеют разный смысл: в первом подчеркивается противопоставление (день был трудным, однако при этом он был и интересным), во втором противопоставление отсутствует. Какой смысл выразить — решает автор текста.
Возможен второй вариант. Или так: Он дал мне день - всего один день, чтобы...
Верно: монастырь Святого Николая.
Корректно: музей Николая Островского, т. к. это не официальное название организации: слово музей не начинает здесь имя собственное, а обозначает тип учреждения.
