Имя следует склонять: ...за пациента Сазонова Алексея.
Верно: Есении, Оливии. Эти имена склоняются так же, как Мария.
Грузинские фамилии, оканчивающиеся на -ия, склоняются по образцу имени Мария. Правильно в дательном падеже: Давиду Габескирии (ср.: Марии, России).
Это выражение может быть вводным и, соответственно, обособляться. Нужно видеть контекст.
При обращении к нескольким лицам местоимение вы пишется со строчной. Правильно в данном случае: приглашаем вас.
Правильно: Юлии, Марии.
Мария, приведенные Вами примеры - это задания интернет-олимпиады по русскому языку. Олимпиада проводилась нашим порталом в прошлом году, и ответы опубликованы. Их можно найти здесь.
Эта фамилия склоняется так же, как имя Мария или название Россия: Еремии, Еремии, Еремию, Еремией, о Еремии. Если в именительном падеже ударение падает на -я, тогда в дательном и предложном падежах окончание -е: Еремие.
Если ударение не падает на я, то имя склоняется так же, как Мария: Иларии. «Словарь русских личных имен» Н. А. Петровского фиксирует имя Илария с ударением на а. Если же ударение падает на я, правильно: Иларие́, как Зульфия́ – Зульфие́.
Названия, написанные латиницей, в русском тексте обычно не заключаются в кавычки.
