Оба варианта являются допустимыми с точки зрения норм русского литературного языка. Выбор зависит от намерения автора и желаемой стилистики. В первом варианте мы имеем дело с бессоюзным сложным предложением («Мне сказали, мой стиль похож на твой.»), где связь частей осуществляется с помощью интонации. Во втором варианте используется союз «что» для соединения частей сложноподчинённого предложения («Мне сказали, что мой стиль похож на твой.»). Оба варианта могут быть использованы в речи, но второй вариант более распространён и формален.
Нет, эти слова не связаны этимологически.
Верно: он заботится обо мне, он заботлив по отношению ко мне.
Слова день рождения пишутся строчными: На мой день рождения...
Оба варианта разговорно-сниженные, но оба возможны.
Запятая не нужна.
Ставить тире не нужно.
