Оба варианта имеют право на существование, однако вариант не недооценивайте противника несколько неблагозвучен из-за повтора не.
В словарях и в Национальном корпусе русского языка это наречие отсутствует, но оно вполне может быть образовано как выразительное средство в разговорной или художественной речи по аналогии с наречиями вкрутую, вдолгую, в открытую и т. п.
Варианты равноправны.
См. в «Словаре трудностей»: Бильярд.
Оба варианта правильны.
Ваш корректор прав, именно так и надо писать эти слова: хип-хоп-вечеринка, хип-хоп-музыка. См. фиксацию подобных слов в Искать на Грамоте.
Выбор глагола зависит от строя предложения и смысла.
Предпочтителен второй вариант. Обычно в сочетании с конкретным существительным – искать что, а в сочетании с отвлечёнными существительными – искать чего.
