В значении 'завершение чего-л.' варианты равноправны.
Если это вопросительное предложение (будут показывать?), вопросительный знак после кавычек не нужен (одинаковые знаки до и после закрывающей кавычки не пишутся), если же это повествовательное или восклицательное предложение, то знак – соответственно, точка или восклицательный знак – ставится: Завтра по телевизору будут показывать передачу «Что? Где? Когда?». Завтра по телевизору будут показывать передачу «Что? Где? Когда?»!
Это предложение по цели высказывания не вопросительное, а побудительное: его грамматическую основу составляет глагольная форма повелительного наклонения подскажите. Соответственно, вопросительный знак в конце этого предложения не нужен.
Да, точка в конце предложения нужна. Восклицательный знак относится только к названию флешмоба.
Верно: ...начало XX века.
Нет, точка в конце заголовка не ставится.
Точка после кавычек здесь не ставится.
См. в «Письмовнике».
