Это прилагательное, начальная форма — хороший.
Да, будя – правильная форма деепричастия от глагола будить.
Форма родительного падежа мн. числа существительного мольба малоупотребительна. Некоторые словари пишут, что такой формы у этого слова нет. Тем не менее в художественных текстах изредка встречаются примеры использования формы мольб. Например: В удивлении я вытащил имеющиеся у меня десять долларов, которые моментально сграбастал ненасытный увеселитель, — и только после мольб моих и моих спутников он выдал мне 50 центов на обратный путь. В. В. Маяковский, Мое открытие Америки.
Все формы слова отличаются друг от друга. Особенности неопределенной формы - отсутствие показателей времени, лица, наклонения, залога и др. Поэтому такая форма и называется неопределенной.
