Лучше: кто-то из моих людей; кто-то бросился догонять...
Правильно: Прием заявок на участие в Международном творческом фестивале и Всероссийской викторине.
Правила правописания не требуют постановки тире в этом случае. Но интонационное тире по желанию автора поставить можно.
Оба варианта неудачны.
Объединение в однородном ряду логически несовместимых понятий чаще всего называют си́ллепсисом (си́ллепсом). Такое синтаксическое построение может быть как ошибкой, так и намеренным стилистическим приемом, преследующим те или иные (часто комические) цели. См., например: Культура русской речи: энциклопедический словарь-справочник / Под ред. Л. Ю. Иванова, А. П. Сковородникова, Е. Н. Ширяева и др. М., 2003. С. 614–615.
Да, тире необходимо.
Правильно: школу окончил сорок один ученик.