Прилагательное помолвочный отмечено в издании «Новое в русской лексике. Словарные материалы — 1983» (М., 1987). В качестве иллюстрации приведено словосочетание помолвочное кольцо. В современной юридической литературе употребляются также выражения помолвочные отношения, помолвочное соглашение.
При образовании уменьшительных производных в них сохраняется грамматический род базового слова. Поскольку полотенце - среднего рода, то и уменьшительное слово должно быть среднего рода: полотенчико и полотенечко. Но есть исключения, например: тень (ж. р.) - тенёк (м. р.).
Можно использовать все предложенные варианты.
Оба варианта правильные.
Оба варианта верны.
Лучше: хранить, сохранять бдительность.
Нет, но возможно: возникла, сложилась ситуация.
См. в "Словаре трудностей".
Сочетание необычное, но оценивать его как корректное или некоррекное весьма сложно: ни замысел автора, ни контекст, ни стилистические особенности текста не известны.
