Новое предложение в этом случае всё же начинается сразу после закрытой кавычки. Нельзя не отметить, однако, что правила недостаточно четко регламентируют данную ситуацию, о чём подробнее см. в ответе на вопрос № 325853.

Добавим, что и оформление первого предложения, с двумя глаголами речи, каждый из которых вводит свой фрагмент высказывания и расположен перед этим фрагментом, представляет собой трудность: полностью аналогичных примеров в имеющихся справочниках не обнаруживается. Можно рекомендовать такой вариант: Он произносил: «Ну-с, молодые люди, чего вам угодно? — И шутливо добавлял: — Пару чая или по штофу водки?» Поняв, чего от него хотят «молодые люди», он быстро удовлетворял наше желание...

Самые разные события происходят в ботанических садах-институтах нашей страны. Когда речь идет о конкретном саде-институте, то авторы пишут с неизменностью: в ботаническом саду-институте.

Прямая речь характеризуется тем, что вводится в текст словами автора и воспроизводит высказывание (или мысль) от того лица, которому она принадлежит, с сохранением лексико-фразеологических, грамматических и других особенностей. Дословное воспроизведение чьей-то письменной реплики тоже является прямой речью и оформляется по тем же правилам, что и дословное воспроизведение чьего-то устного высказывания.

Это предложение с прямой речью внутри авторских слов. Вы оформили его верно.

Существительное звезда требует согласования в женском роде, даже если речь идет о мужчине: Умерла одна из звезд фильма «Три плюс два» Геннадий Нилов. Но лучше фразу изменить.

В данном случае используется т. н. соединительное тире, которое, в частности, ставится между собственными наименованиями, в совокупности обозначающими какой-либо объект.

Правильно: Общие представления о жидкостях и их свойствах.

Общее название должности безотносительно к полу лица, эту должность занимающего, — помощник президента компании. Если речь идет о человеке женского пола, уместно использовать слово женского рода: помощница президента компании.

В этом значении следует использовать прописную букву: Франкфуртская школа.

В норме в слове часовщик после мягкого согласного во втором предударном слоге произносится редуцированный [ь], так же, как в других похожих словах (с[ь]невá, п[ь]санúна, п[ь]тачóк).