Запятая не требуется. Лучше: существовать без...
Да, точка нужна в конце предложения.
Нужна запятая, а в конце предложения - вопросительный знак.
Возможны варианты пунктуации: На пике своей активности, а точнее, после выборов молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее – после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. См. «Справочник по пунктуации» (примечание 3 к пункту 2).
Правильно с запятой: Прошу Вас сообщить, ожидать ли нам ответа.
Точка после кавычек не нужна.
Да, точка нужна.
Интонационное тире возможно.
О выборе падежа при глаголах с отрицанием см. в «Письмовнике».
Запятая после проектов нужна.