Между однородными определениями, не связанными союзами, ставится запятая. Определения являются однородными, если за одиночным определением следует определение, выраженное причастным оборотом: малоизвестные, расположенные на отшибе курганы; древняя, почерневшая от времени деревянная статуэтка; твёрдый, плохо выбритый подбородок (ср. при другом порядке слов: плохо выбритый твёрдый подбородок). Именно такой порядок определений наблюдается в приведенном Вами предложении: певучие, раскалённые князем-басурманом струны. 

Также должна быть поставлена запятая перед союзом и между двумя частями сложносочиненного предожения.

В этом предложении причастный оборот необходимо выделить запятыми, так как он стоит после определяемого слова дети.

Вариативность, связанная со значением причины, могла бы возникнуть, если бы причастный оборот находился перед определяемым словом. В этом случае, если бы автор намеревался сказать, что дети не могли уснуть, потому что были разбужены грозой, причастный оборот нужно было бы отделить запятой (Разбуженные грозой, дети не могли уснуть), хотя по общему правилу запятая здесь не нужна.

Сказуемые вошел (в роль) и стал поучать образуют тесно связанную по смыслу пару, которая соединена союзом и со сказуемым посмотрел, а в таких случаях запятые не ставятся. Слово наконец является здесь обстоятельством, обозначающим «в конечном итоге, после всего» (кстати сказать, оно относится к обоим образующим пару сказуемым) и не выделяется запятыми: Он посмотрел на участников спора и наконец снова вошел в роль победоносного маршала и стал поучать.

Вы совершенно правы. 

Между однородными определениями, не связанными союзами, ставится запятая. Определения являются однородными, если за одиночным определением следует определение, выраженное причастным оборотом: малоизвестные, расположенные на отшибе курганы; древняя, почерневшая от времени деревянная статуэтка; твёрдый, плохо выбритый подбородок (ср. при другом порядке слов: плохо выбритый твёрдый подбородок). Именно такой порядок определений наблюдается в приведенном Вами предложении: певучие, раскалённые князем-басурманом струны. 

Также должна быть поставлена запятая перед союзом и между двумя частями сложносочиненного предожения.

Академическая грамматика («Русская грамматика», т. I, М., 1980 г., § 555, § 756) описывает слова типа нейросеть, нейролингвистический, нейроанатомия, нейрохирургия и т. п. как cложные слова с подчинительным (неравноправным) отношением основ. Они содержат опорный компонент (существительное или прилагательное) и связанную усеченную основу нейро- (← нейронный) с конкретизирующей функцией. Компонент нейро- нечленим и представляет собой корень, хотя многие сложения такого типа могут включать в себя интерфиксы (соединительные гласные), ср.: гели-о-терапия (гели- ← гелий).

Верно: десять в минус тридцать четвертой степени секунд.

Номинативное (назывное) предложение - односоставное предложение с главным членом, выраженным именем существительным: На улице весна. Ручьи. Половодье.

Ответ на Ваш вопрос содержится в академическом «Русском орфографическом словаре» под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой (М., 2023), размещенном на нашем портале. В этом словаре закреплены в нормативном написании не только отдельные слова, но и различные неоднословные единицы — устойчивые обороты, имена, названия. Конечно, орфографический словарь не является словарем собственных имен и не может вместить в себя все имена и названия, но он стремится охватить самые разнообразные модели, которые даются через достаточно известные примеры. По таким примерам можно определить, как пишется другое название такой же структуры.

Как найти неоднословную единицу в словаре? Она может даваться в заголовке словарной статьи, а может включаться в текст статьи, заголовком которой является ключевое слово искомого выражения. К первому типу относятся, например, Новый год и старый Новый год, а ко второму — название года по восточному календарю, о котором был задан вопрос (посмотрите также статьи мышь, змея, кролик и под.).

Чтобы найти в словаре сочетание слов — заголовок словарной статьи, его нужно набрать в поисковой строке в кавычках (см., например, високосный год). 

В предложении Я вышла из дома, светило солнце, и сновали птицы запятая перед союзом и нужна, так как он соединяет части сложносочиненного предложения. Заметим при этом, что более уместным решением было бы оформление высказывания в двух предложениях: Я вышла из дома. Светило солнце, и сновали птицы (в первой части глагол-сказуемое совершенного вида, в двух других — несовершенного, что указывает на более тесную связь этих двух последних друг с другом, нежели на их связь с первой частью). В предложении На улице светило солнце, шумел ветер и гуляли люди запятая перед союзом и не требуется, так как у всех частей есть общий элемент — обстоятельство на улице (и все глаголы-сказуемые несовершенного вида).

В последнем из приведенных предложений запятая перед союзом и нужна, потому что он соединяет части сложносочиненного предложения. Эти части не объединены каким-то общим элементом (обстоятельством, частицей и т. п.). Они неполные и имеют параллельную структуру, отчего в них и используется тире, сравним: Численность первого вида [составляет] 4 экз., [численность] второго [составляет] 3 экз., и [численность] третьего [составляет] 2 экз.