Корректно: следует использовать шпатлевку для окон.
Пока что нет устоявшегося варианта. Возможно согласование в мужском и женском роде.
Лучше написать латиницей, но при написании буквами русского алфавита уместно будет поставить дефис.
Названия, написанные латиницей, в тексте на русском языке обычно не заключаются в кавычки.
Верно: пиар-менеджер компании "Газелькин", пиар-менеджер "Газелькина".
Фраза избыточна, слово название здесь лишнее. Верно: сложите судебные термины.
Следует склонять это название.
Название аэропорта (так же, как и название населенного пункта) склоняется: во Внукове.
Название Минпросвещения России не склоняется. При этом склоняются наименования с усеченной конечной частью: Минтруд, Минспорт, Минздрав... (но: Минобрнауки, Минобороны - не скл.!)
Название номинации корректно.