Да, эти слова - однокоренные. Ср.: вОдит.
Математический термин - комплЕксная.
Проверочное слово - глЯдя. Корень - гляд-.
Апробация - от лат. approbatio.
В современном русском языке приставка не выделяется. Корень: проказ-.
Ударение падает на первый слог: для блИзи.
Глагол бдить словарями литературного языка не фиксируется. В речи он появился, вероятно, под воздействием прилагательного бдительный, которое произошло от форм глагола бдеть – бдит, бдишь. Этимологически мотивировано написание бдеть, древняя форма этого глагола писалась с буквой ять: бъдѣти.
Правильно склонять в первом случае обе части: заявление-анкета, заявления-анкеты и т. д. Во втором случае правильно: плащ-палатка, плащ-палатки и т. д. (вторая часть склоняется как существительное первого склонения).
Верно: синергИя.
