Вы написали верно: орден Русской православной церкви.
Если вставные конструкции выделяются при помощи тире, их не нужно дополнительно выделять запятыми. При этом запятые могут ставиться по условиям контекста (на своих основаниях). Запятая предшествует тире.
Слова "тем не менее" не используются как вводные.
ТЕМ НЕ МЕНЕЕ, частица и союз
1. Частица (часто в сочетании с противительными союзами «а», «но», а также в предложениях с союзами «хотя», «несмотря на то что», «пусть» и др.). Не требует постановки знаков препинания.
Мюллер долго наблюдал за тем, как медленно, еле заметно, но тем не менее неуклонно лучи двигались по комнате. Ю. Семенов, Экспансия-I. Несмотря на то, что Ягозин был кровным детищем Петербурга… он весь тем не менее состоял из одной быстроты и юркости. Д. Григорович, Карьерист.
2. Союз (между частями сложносочиненного предложения). То же, что «но, однако».
…Это были все-таки карты, несколько захватанные, затертые пальцами по краям, тем не менее невозможно было представить, что в них играли за столом... Ю. Бондарев, Горячий снег.
Можно поставить запятую или тире.
Основа одна, но подлежащих - два.
Конкретизируйте, пожалуйста, вопрос. Вы хотите спросить о категории одушевленности? Или о падеже при отрицании?
Запятая и тире могут ставиться как единый знак и как сочетание знаков. Как единый знак запятая и тире возможны в сложном предложении, напр.: Даже вода взволновалась, – вот до чего взыгрались лягушки (Пришвин). Но чаще можно встретить сочетание запятой и тире, где каждый знак стоит на собственном основании, напр.: Важная задача, которую ставят перед собой организаторы олимпиады, – поддержать талантливую молодежь (запятая закрывает придаточное предложение, тире ставится между подлежащим и сказуемым).
Орфографический словарь
Это подлежащее.
Верно: католическое Рождество.
