В текстах для подготовленного читателя, знакомого с использованием из коробки в данном значении, можно кавычки не ставить. В остальных случаях кавычки нужны, чтобы обратить внимание читателя на необычное употребление слова.

Определение входит в обстоятельственную группу в бесконечном космосе, но внутри этой группы оно является именно определением. При желании графический разбор можно усложнить: подчеркнуть всю обстоятельственную группу как обстоятельство, а определение — вдобавок еще и как определение.

Ломать голову над тем, определением или дополнением является распространитель, который способен ответить на разные вопросы, непродуктивно. Лучше договориться, что бывают синкретичные распространители, совмещающие функции определения и дополнения. Пирог с капустой — это как раз такой пример. Как существительное, пирог автоматически разрешает смысловой вопрос какой?. Но мы хорошо знаем, что пироги обычно пекут с начинкой, поэтому вопрос с чем? абсолютно легитимен. (Не случайно, когда на улицах торговали с лотков пирожками, продавщицы без конца отвечали на один и тот же вопрос: С чем у вас пирожки? — и никому не приходило в голову спросить Какие у вас пирожки?.) Суть дела здесь состоит в том, что в таких случаях дополнение подается в оболочке определения. Ведь на вопрос какой? можно ответить десятком других способов (слоеный, румяный, аппетитный, горячий, мясной). Здесь же выбирается вопрос с уточнением: какой, с чем?. Поэтому и характеризовать распространитель лучше как совмещающий признаки несогласованного определения и косвенного дополнения, но если выбирать однозначное решение, то — как косвенное дополнение.

Что же касается второго примера, то здесь ситуация несколько иная. При обычном употреблении глагол танцевать не предполагает распространителя, отвечающего на вопрос с чем?. Можно танцевать как, с кем, где — это обычные распространители к этому глаголу. Поэтому при обычном употреблении предпочтительно видеть в существительном с предлогом обстоятельство.

Однако в употреблении специальном — например, в сфере художественной гимнастики, циркового искусства и т. п. — танец с чем (с лентой, с саблями, с булавами) представляет собой обычное для речи этой сферы управление, и поэтому в этой сфере вполне законным будет вопрос типа С чем она сегодня танцует?. Если предложение с этим словосочетанием взято из речи в такой сфере, то целесообразно видеть в распространителе косвенное дополнение.

Общее правило очень простое: к зависимому компоненту надо ставить смысловой, а не формальный вопрос. То есть это должен быть вопрос не к форме зависимого слова, а от смысла главного слова. Если смысловой вопрос совпал с вопросом к форме зависимого слова (то есть с падежным или предложно-падежным вопросом) — значит, перед нами дополнение.

Сложно ответить на Ваш вопрос, ибо написания ВДВ-шник и ВДВшник одинаково неправильны. Орфографической норме русского языка отвечает только один вариант: вэдэвэшник. Вправе ли мы «по настоянию автора» нарушать законы русского письма?

Проверяемые слова иногда включают в списки словарных слов. Это может быть сделано, чтобы обратить особое внимание на трудные слова, на слова определенной модели, с каким-то общим элементом (например, с сочетанием оро).

В значении «утратить свежесть, начать портиться с поверхности под действием воздуха» правильно: заветреть и заветриться. Академический орфографический словарь допускает только такие варианты, а он главный в решении орфографических вопросов.

Для того чтобы ответить на вопрос, поставьте слова в форму винительного падежа (вижу кого? что?). Если форма совпадает с формой именительного падежа, это существительное неодушевленное. Если с формой родительного падежа - одушевленное.

Такое употребление нельзя назвать корректным. Согласно толковым словарям русского языка (см., напр., «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова), отметить – устроить празднество, торжество в честь чего-либо, в ознаменование чего-либо.

Дефисное написание крем-чиз корректно, однако следут отметить, что это слово еще на зафиксировано в нормативных словарях современного русского литературного языка. При его склонении изменяется только вторая часть: крем-чиза, крем-чизу и т. п.