Если речь идет о международных спортивных соревнованиях среди студентов, то следует писать Универсиада. Если это слово употребляется в значении 'соревнования, состязания в чем-либо', то правильно написание со строчной буквы, например: студенческая универсиада «Ломоносов» по правоведению.

Слово спартакиада следует писать с прописной буквы как первое слово в официальных наименованиях соревнований, например: Спартакиада народов РСФСР, Спартакиада учащихся России. Ср.: Студенты активно участвуют в турнирах и первенствах колледжа, в спартакиадах ОАО «Мосэнерго»; Вот и появилась идея проведения спартакиады; Значок по бегу второго разряда был честно заработан на районной спартакиаде.

Да, вероятнее всего, этимологически слова синий и синица связаны друг с другом. Синица названа так по цвету оперения (в котором в верхней части тела преобладают синий и зеленовато-голубой цвета). Хотя среди лингвистов есть и другое мнение (что современное синица восходит к зиница от звукоподражания зинь и птица получила свое название сначала по характерным для нее звукам, а затем уже по цвету оперения), тем не менее большинство ученых все же возводят синица к синий.

В современном русском языке в слове синица выделяется корень син- и суффикс -иц.

Словосочетание продукты питания  корректно и зафиксировано в нормативных словарях русского языка в значении 'продукты, предназначенные для питания людей'. Дело в том, что существительное продукт имеет несколько значений, среди них, действительно, есть значения 'предмет как результат человеческого труда || предмет, вещество и т. п. как результат труда в какой-либо отрасли производства' (продукты сельского хозяйства) и 'вещество, образующееся химическим или иным путем из другого вещества' (продукты сгорания). Но есть у слова продукты и значение 'предметы питания, съестные припасы', и именно в этом значении оно употребляется в словосочетании продукты питания.

Словарная рекомендация: опытные докторА.

Орфографический словарь

Большой толковый словарь

Русское словесное ударение

Использование союза и выводит областную газету из числа разных изданий; союз здесь выполняет соединительную функцию: Я работал в разных изданиях и, конечно же, в областной газете, где трудился 12 лет. Если же сочетание в областной газете мыслится как присоединительная конструкция (на что указывает Ваш вариант пунктуационного оформления), то к союзу и нужно добавить в том числе: Я работал в разных изданиях, и в том числе, конечно же, в областной газете, где трудился 12 лет. Областная газета при этом сохранит свою выделенность среди разных изданий благодаря вводному сочетанию конечно же.

Правила выбора падежа дополнения при переходном глаголе с отрицанием изложены, в частности, в соответствующем параграфе «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой. Глагол получить приведён в подпункте 4 пункта 1 указанного параграфа среди глаголов, при которых требуется дополнение в родительном падеже: не получили отказа. Впрочем, если под словом отказ подразумевается конкретный документ («именно этот предмет, а не вообще какой-то»), в сочетании употребляется винительный падеж, сравним подпункт 1 пункта 2 с примерами типа не отрецензировал рукопись, которую ему прислали.

Предложное управление для этого относительно нового слова нельзя назвать устоявшимся. Тренд к — по аналогии с тенденция к, тренд на — по аналогии с мода на. Однако в практике письма явно преобладает сочетание тренд на: Отсюда заметный в последнее время тренд на профанацию качества в среднем сегменте и депрессивные настроения среди части бизнесменов [Вера Краснова, Анастасия Матвеева. Свадьба дела с идеалом // «Эксперт», 2009]; Хочу заметить, что еще пару лет назад намечался тренд на поддержку современной культуры... [Ирина Прохорова, Андрей Архангельский. «Необязательно гордиться душегубами» // «Огонек», 2014] и т. д. 

Следует ориентироваться на рекомендации академического орфографического словаря. Нужно заметить, что написание тираннозавр — это не какая-то сугубо новая норма. См., например: Среди гигантских рептилий мезозоя были наиболее крупные хищники, которых когда-либо видел мир, вроде тираннозавров [Г. Ф. Гаузе. Экология и некоторые проблемы происхождения видов (1934)]; Диплодока метров в 30 я помню еще с прошлого раза, но два скелета здоровенных, метра в 4 высотой, если не больше, хищных ящеров вроде тираннозавра [Н. Н. Козаков. Дневник (1962)]. Иначе говоря, до определенного времени написание было вариативным, поскольку отсутствовала фиксация слова в нормативных словарях.