Корректно со строчных.
Если речь идет о Конституционном суде РФ, то это название во всех случаях следует писать с прописной (заглавной) буквы.
Правильно: Пословица «Семеро одного не ждут» по-прежнему актуальна.
Корректно: «квартал красных фонарей».
Нет оснований писать слова в этом словосочетании с большой буквы.
Здесь корректно написание со строчной буквы.
Ваше написание корректно, если в тексте второе слово этого сочетания является именем собственным (индивидуальным именем змея). Если же оно имеет значение символа, отвлеченной идеи, выраженной изображением змея, глотающего собственный хвост, то корректно написание со строчной буквы: змей уроборос.
Сочетание корректно.
Все указанные Вами глаголы могут быть использованы.
Как собственные наименования эти сочетания пишутся с большой буквы.
 
                         
                 
                         
                         
                        