Указанная запятая нужна.
Правильно: напиться (чего?) воды, молока... в знач. «выпить в большом количестве» и напиться (чем?) водой, квасом... в знач. «попить вдоволь, утолив жажду».
Запятая не нужна.
В данном случае запятая не нужна.
Оба варианта возможны. Форма прогневали является устаревшей.
Слова зачем и ни за чем (низачем) не являются "грамматической парой". Зачем - слово с функциональностью союза, со значением цели. Низачем - ответная реплика в просторечии, в разговорной речи. Это слово можно написать слитно, по аналогии с незачем (=бесцельно) и нипочем, но, подчеркнем, относится оно только к разговорно-просторечной сфере, а значит, с трудом поддается "орфографической кодификации".
Это обычное сложноподчиненное предложение, запятая нужна: Не знаете, чем удивить своих друзей на день рождения?