Нет, таким образом гласную а проверить нельзя, это непроверяемая гласная.
Правильно: ут-ро. Других вариантов нет.
Написание объясняется историей слова. Юриспруденция пришло к нам из немецкого языка, в котором Jurisprudenz восходит к латинским корням jus (juris) 'право, закон' и prudentia 'знание, наука'. Букве т в этом слове неоткуда было взяться.
«Русская грамматика» (М., 1980) относит это слово к категории Singularia tantum. Однако современные авторитетные словари не запрещают употребление форм мн. числа у существительного инструктаж, и в письменной речи они встречаются. Например: Всей первой половиной дня, тремя инструктажами и увиденным на аэродроме он был подготовлен к чему-то важному, ответственному, чрезвычайному. В. Богомолов, Момент истины.
В словах грамотно, грамотей корень грамот. Грамотно и грамматика – не однокоренные, но родственные слова.
Например: неводить, неводник, неводный, неводок, неводчик, неводьба (см. окно «Искать на Грамоте»).
Слова перекрасачки не существует. Однако предложенной формуле соответствует вполне реальное слово перекраски.